Documentation - Les 4 Opérations

📑 Table des matières

➕ L'Addition

Définition : L'addition est l'opération qui consiste à ajouter deux ou plusieurs nombres ensemble pour obtenir une somme. Le symbole est +.

Propriétés de l'addition

Propriété commutative
a + b = b + a
Propriété associative
(a + b) + c = a + (b + c)
Élément neutre
a + 0 = a

Étapes de l'addition posée

  • Étape 1 : Aligner les nombres par colonne (unités avec unités, dizaines avec dizaines, etc.)
  • Étape 2 : Additionner les chiffres de la colonne de droite (unités)
  • Étape 3 : Si le résultat est ≥ 10, écrire l'unité et retenir la dizaine
  • Étape 4 : Continuer vers la gauche en n'oubliant pas d'ajouter les retenues

Exemple détaillé

Exemple : 127 + 45

Retenue: 1 127 + 45 ------ 172 Explication: - Colonne des unités : 7 + 5 = 12 → On écrit 2, on retient 1 - Colonne des dizaines : 2 + 4 + 1 (retenue) = 7 - Colonne des centaines : 1 Résultat : 172

Avec les décimaux

💡 Conseil : Pour additionner des décimaux, alignez bien les virgules !

Exemple : 12,5 + 8,37

12,50 + 8,37 -------- 20,87 Alignment: Les virgules sont alignées verticalement Résultat : 20,87

Cas courants à maîtriser

  • Addition de petits nombres (jusqu'à 100)
  • Addition avec retenues multiples
  • Addition de nombres décimaux
  • Addition de nombres négatifs

➖ La Soustraction

Définition : La soustraction est l'opération qui consiste à retirer un nombre d'un autre. Elle est l'inverse de l'addition. Le symbole est -.

Vocabulaire

Minuende
Le nombre dont on soustrait (le premier nombre)
Soustrahende
Le nombre qu'on soustrait (le deuxième nombre)
Différence
Le résultat de la soustraction

Propriétés importantes

⚠️ Attention : La soustraction n'est PAS commutative ! a - b ≠ b - a
Élément neutre
a - 0 = a
Inverse de l'addition
Si a - b = c, alors c + b = a

Étapes de la soustraction posée

  • Étape 1 : Aligner les nombres par colonne
  • Étape 2 : Soustraire colonne par colonne en commençant par la droite
  • Étape 3 : Si le chiffre du bas est plus grand, emprunter 10 à la colonne suivante
  • Étape 4 : Continuer vers la gauche

Exemple avec emprunt

Exemple : 152 - 87

152 - 87 ------ 65 Explication: - Unités : 2 - 7 ? Impossible ! On emprunte 10 à la dizaine Donc : 12 - 7 = 5 - Dizaines : 5 - 1 (emprunté) - 8 = 4 - 8 ? Impossible ! On emprunte 10 à la centaine Donc : 14 - 8 = 6 - Centaines : 1 - 1 (emprunté) = 0 Résultat : 65

Vérification

💡 Astuce : Pour vérifier votre résultat, faites l'addition inverse : 65 + 87 doit égaler 152 ✓

✖️ La Multiplication

Définition : La multiplication est l'opération qui consiste à répéter une addition. 4 × 5 signifie 5 + 5 + 5 + 5. Le symbole est × ou *.

Vocabulaire

Multiplicande
Le premier nombre qu'on multiplie
Multiplicateur
Le deuxième nombre (par combien on multiplie)
Produit
Le résultat de la multiplication

Propriétés de la multiplication

Propriété commutative
a × b = b × a
Propriété associative
(a × b) × c = a × (b × c)
Distributivité
a × (b + c) = a × b + a × c
Élément neutre
a × 1 = a
Élément absorbant
a × 0 = 0

Étapes de la multiplication posée

  • Étape 1 : Multiplier le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur
  • Étape 2 : Décaler les résultats partiels d'une position vers la gauche
  • Étape 3 : Additionner tous les résultats partiels
  • Étape 4 : Placer la virgule au bon endroit (si décimaux)

Exemple détaillé

Exemple : 24 × 13

24 × 13 ------ 72 (24 × 3) 240 (24 × 1, décalé) ------ 312 Explication: - 24 × 3 = 72 - 24 × 1 = 24, mais décalé (24 × 10 = 240) - 72 + 240 = 312

Multiplication avec décimaux

Méthode : Pour multiplier deux décimaux, on ignore les virgules, on effectue la multiplication normalement, puis on replace la virgule au bon endroit !
  • Étape 1 : Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux nombres
  • Étape 2 : Enlever les virgules des deux nombres
  • Étape 3 : Multiplier les nombres sans virgules comme d'habitude
  • Étape 4 : Placer la virgule dans le résultat (en partant de la droite, avancer d'autant de positions que de décimales)

Exemple 1 : 2,5 × 1,4

Étape 1 : Compter les décimales 2,5 a 1 décimale 1,4 a 1 décimale Total = 1 + 1 = 2 décimales Étape 2 : Enlever les virgules 2,5 → 25 1,4 → 14 Étape 3 : Multiplier sans virgules 25 × 14 ----- 100 (25 × 4) 250 (25 × 1, décalé) ----- 350 Étape 4 : Placer la virgule Résultat : 350 Avec 2 décimales : 3,50 = 3,5 Vérification : 2,5 × 1,4 = 3,5 ✓

Exemple 2 : 3,15 × 2,2

Étape 1 : Compter les décimales 3,15 a 2 décimales 2,2 a 1 décimale Total = 2 + 1 = 3 décimales Étape 2 : Enlever les virgules 3,15 → 315 2,2 → 22 Étape 3 : Multiplier sans virgules 315 × 22 ----- 630 (315 × 2) 6300 (315 × 2, décalé) ----- 6930 Étape 4 : Placer la virgule Résultat : 6930 Avec 3 décimales : 6,930 = 6,93 Vérification : 3,15 × 2,2 = 6,93 ✓
💡 Conseil important : La multiplication des décimaux se fait TOUJOURS en trois étapes :
① Ignorer les virgules et multiplier
② Compter les décimales
③ Replacer la virgule dans le résultat

Cas spéciaux

  • Multiplication par 10, 100, 1000 (décaler la virgule)
  • Multiplication par 0,5 = diviser par 2
  • Multiplication de nombres négatifs
  • Multiplication de décimaux

➗ La Division

Définition : La division est l'opération qui consiste à partager en parts égales. Elle est l'inverse de la multiplication. Le symbole est ÷ ou /.

Vocabulaire

Dividende
Le nombre qu'on divise
Diviseur
Le nombre par lequel on divise
Quotient
Le résultat de la division
Reste
Ce qui reste après la division entière
⚠️ Attention : On ne peut PAS diviser par zéro !

Propriétés importantes

Inverse de la multiplication
Si a ÷ b = c, alors c × b = a
Élément neutre
a ÷ 1 = a
Division euclidienne
Dividende = Diviseur × Quotient + Reste

Étapes de la division posée

  • Étape 1 : Chercher combien de fois le diviseur rentre dans les premiers chiffres du dividende
  • Étape 2 : Multiplier le diviseur par ce nombre et soustraire du dividende
  • Étape 3 : Abaisser le chiffre suivant
  • Étape 4 : Répéter jusqu'au dernier chiffre

Exemple détaillé

Exemple : 156 ÷ 12

156 | 12 ----+---- - 12 | 13 --- 36 - 36 --- 0 Explication: - Dans 15, combien de fois 12 ? 1 fois (12 × 1 = 12) - 15 - 12 = 3, abaisser le 6 → 36 - Dans 36, combien de fois 12 ? 3 fois (12 × 3 = 36) - 36 - 36 = 0 Quotient : 13, Reste : 0 Vérification : 13 × 12 + 0 = 156 ✓

Division avec reste

Exemple : 25 ÷ 4

25 | 4 ---+---- - 24 | 6 --- 1 Explication: - Dans 25, combien de fois 4 ? 6 fois (4 × 6 = 24) - 25 - 24 = 1 (reste) Quotient : 6, Reste : 1 Vérification : 6 × 4 + 1 = 25 ✓

Cas spéciaux

  • Division par 1 = le nombre reste inchangé
  • Division d'un nombre par lui-même = 1
  • Division par 10, 100, 1000 (décaler la virgule)
  • Division avec décimaux
  • Vérification : Quotient × Diviseur + Reste = Dividende

Diviser deux décimaux

💡 Astuce : Multipliez le dividende et le diviseur par le même nombre (10, 100, etc.) pour éliminer les décimales du diviseur.